Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} + 6 x - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 6 x - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$6 x^{2} + 6 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$6 x^{2} + 6 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 x^{2} + 6 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} + 6 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 x^{2} + 6 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 4.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 4.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 4.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Étape 5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + 3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + 3 e^{x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 6.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6 x^{2} + 6 + x^{- 2} + 3 e^{x} - \cos (x)$

Étape 7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} + 6 + \frac{1}{x^{2}} + 3 e^{x} - \cos (x)$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 3 e^{x} + 6 - \cos (x)$