Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = \frac{x - 1}{u}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arcsin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ et $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}]$

Étape 3.2

Comme $\frac{1}{u}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x - 1}{u}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + 0)$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \cdot 1$

Étape 3.7.2

Multipliez $\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ par $1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 1}{u}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez $\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$ comme $\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$ .

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}$ comme ${(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $u^{2} - {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2}}}}$

Étape 4.2.3.1.2

Factorisez la puissance parfaite $u^{2}$ dans $u^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}}}$

Étape 4.2.3.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}}$

Étape 4.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$

Étape 4.2.4

Associez $\frac{1}{u}$ et $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{u \frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Étape 4.2.5

Associez $u$ et $\frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}$ .

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Étape 4.2.6

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Étape 4.2.6.2

Divisez $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$