Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \ln (\csc (x^{2}))$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (\csc (x^{2}))$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \csc (x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{1}{\csc (x^{2})} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Étape 3

Réécrivez $\csc (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 (\frac{1}{\frac{1}{\sin (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Étape 4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

$2 (1 \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Étape 5

Multipliez $\sin (x^{2})$ par $1$ .

$2 (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) (\csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Réorganisez les facteurs de $- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$ .

$- 4 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Étape 8.2

Réécrivez $\cot (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Étape 8.3

Multipliez $- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Associez $- 4$ et $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$x \frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Étape 8.3.2

Associez $x$ et $\frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{x (- 4 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Étape 8.4

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Étape 8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Étape 8.6

Réécrivez $\csc (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 8.7

Multipliez $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ par $\frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 8.7.2

Élevez $\sin (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 8.7.3

Élevez $\sin (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 8.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x^{2})$

Étape 8.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 8.8

Annulez le facteur commun de $\sin (x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 8.8.2

Factorisez $\sin (x^{2})$ à partir de $\sin^{2} (x^{2})$ .

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 8.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Étape 8.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Étape 8.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Étape 8.10

Séparez les fractions.

$- (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})})$

Étape 8.11

Convertissez de $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ à $\cot (x^{2})$ .

$- (\frac{4 x}{1} \cot (x^{2}))$

Étape 8.12

Divisez $4 x$ par $1$ .

$- (4 x \cot (x^{2}))$

Étape 8.13

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x \cot (x^{2})$