Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 22 \arctan (\sqrt{s})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{s}$ comme $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [22 \arctan (s^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Comme $22$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $22 \arctan (s^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $s$ est $22 \frac{d}{d s} [\arctan (s^{\frac{1}{2}})]$ .

$22 \frac{d}{d s} [\arctan (s^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = \arctan (s)$ et $g (s) = s^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $s^{\frac{1}{2}}$ .

$22 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$22 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $s^{\frac{1}{2}}$ .

$22 (\frac{1}{1 + {(s^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$22 (\frac{1}{1 + s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$22 (\frac{1}{1 + s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$22 (\frac{1}{1 + s^{1}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4

Simplifiez

$22 (\frac{1}{1 + s} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5

Associez $\frac{1}{1 + s}$ et $22$ .

$\frac{22}{1 + s} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}})$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2}$ et $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{22}{1 + s} \cdot \frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 13

Multipliez $\frac{22}{1 + s}$ par $\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{22 s^{- \frac{1}{2}}}{(1 + s) \cdot 2}$

Étape 14

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1

Déplacez $2$ à gauche de $1 + s$ .

$\frac{22 s^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + s)}$

Étape 14.2

Placez $s^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{22}{2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$\frac{2 \cdot 11}{2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 11}{2 ((1 + s) s^{\frac{1}{2}})}$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 11}{2 ((1 + s) s^{\frac{1}{2}})}$

Étape 16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11}{(1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11}{1 s^{\frac{1}{2}} + s \cdot s^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2

Associez des termes.

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Étape 17.2.1

Multipliez $s^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s \cdot s^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2.2

Multipliez $s$ par $s^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.2.2.1

Multipliez $s$ par $s^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 17.2.2.1.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{1} s^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 17.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 17.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 17.2.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 17.3.1

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 17.3.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.3.1.2

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $s^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{2}{2}}}$

Étape 17.3.1.3

Factorisez $s^{\frac{1}{2}}$ à partir de $s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{2}{2}}$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s^{\frac{2}{2}})}$

Étape 17.3.2

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s^{1})}$

Étape 17.3.3

Simplifiez

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s)}$