Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})) + 30$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})) + 30$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))] + \frac{d}{d t} [30]$ .

$\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))] + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))]$ .

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Étape 2.1

Comme $20$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))$ par rapport à $t$ est $20 \frac{d}{d t} [\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 \frac{d}{d t} [\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})] + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{t}{12}] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 (\frac{d}{d t} [\frac{t}{12}] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.3

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t}{12}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \ln (\frac{t}{13})$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [\ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{d}{d t} [\ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = \frac{t}{13}$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{t}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.6.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{t}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.7

Comme $\frac{1}{13}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t}{13}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{13} \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.9

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.10

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{t}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} - (1 \frac{13}{t} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.11

Multipliez $\frac{13}{t}$ par $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{13}{t} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.12

Multipliez $\frac{1}{13}$ par $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{13}{t} \cdot \frac{1}{13})) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.13

Multipliez $\frac{13}{t}$ par $\frac{1}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{t \cdot 13}) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.14

Déplacez $13$ à gauche de $t$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{13 \cdot t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.15

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 2.15.1

Annulez le facteur commun.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{13 t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 2.15.2

Réécrivez l’expression.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{1}{t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Étape 3

Comme $30$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $30$ par rapport à $t$ est $0$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{1}{t}) + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$20 (\frac{1}{12}) + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $20$ et $\frac{1}{12}$ .

$\frac{20}{12} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun à $20$ et $12$ .

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{4 (5)}{12} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Étape 4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Étape 4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$\frac{5}{3} - 20 \frac{1}{t} + 0$

Étape 4.2.4

Associez $- 20$ et $\frac{1}{t}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 20}{t} + 0$

Étape 4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{3} - \frac{20}{t} + 0$

Étape 4.2.6

Additionnez $\frac{5}{3} - \frac{20}{t}$ et $0$ .

$\frac{5}{3} - \frac{20}{t}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{20}{t} + \frac{5}{3}$