Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 e^{1 - x^{2}} \cdot \ln (x)$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{1 - x^{2}} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{1 - x^{2}}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Étape 4

Associez $e^{1 - x^{2}}$ et $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

Étape 6.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

Étape 6.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Étape 6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])))$

Étape 6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))))$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)))$

Étape 7

Pour écrire $\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \frac{\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x}$

Étape 9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x)))}{x}$

Étape 10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x^{1})))}{x}$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{1 + 1}))}{x}$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$

Étape 13

Associez $3$ et $\frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$ .

$\frac{3 (e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

Étape 14.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- 2 \ln (x) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Étape 14.2.1.2

Simplifiez $- 2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Étape 14.2.1.3

Multipliez $3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))$ .

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Étape 14.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 (\ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Étape 14.2.1.3.2

Remettez dans l’ordre $\ln (x^{2})$ et $- 3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 \cdot \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Étape 14.2.1.3.3

Simplifiez $- 3 \cdot \ln (x^{2})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln ({(x^{2})}^{3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Étape 14.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 14.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{2 \cdot 3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Étape 14.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Étape 14.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - x^{2} e^{1 - x^{2}} \ln (x^{6})}{x}$

Étape 14.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

Étape 14.4

Factorisez $e^{1 - x^{2}}$ à partir de $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}$ .

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Étape 14.4.1

Factorisez $e^{1 - x^{2}}$ à partir de $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6})$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

Étape 14.4.2

Factorisez $e^{1 - x^{2}}$ à partir de $3 e^{1 - x^{2}}$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3}{x}$

Étape 14.4.3

Factorisez $e^{1 - x^{2}}$ à partir de $e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6}) + 3)}{x}$

Étape 14.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} \ln (x^{6})$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) + 3)}{x}$

Étape 14.6

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3))}{x}$

Étape 14.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

Étape 14.8

Réécrivez $- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ comme $- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

Étape 14.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{1 - x^{2}} (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)}{x}$