Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 e^{\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}$ comme ${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}]$

Étape 1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$3 (e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ et $g (x) = x^{2} - 3 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} - 3 x$ .

$3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} - 3 x$ .

$3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 7.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} {(x^{2} - 3 x)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{4}$ et ${(x^{2} - 3 x)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{{(x^{2} - 3 x)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 8.3

Placez ${(x^{2} - 3 x)}^{- \frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}}$ et $3$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}} e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]$

Étape 8.5

Associez $\frac{3}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}}$ et $e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 11

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}} (2 x - 3 \cdot 1)$

Étape 13

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}} (2 x - 3)$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}} (2 x - 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 14.2

Multipliez $2 x - 3$ par $\frac{3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{(2 x - 3) (3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}})}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 14.3

Déplacez $3$ à gauche de $2 x - 3$ .

$\frac{3 \cdot (2 x - 3) e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 14.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{3 (2 x - 3) e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}}}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{3 e^{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}} (2 x - 3)}{4 {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{3}{4}}}$