Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 3 \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

Étape 1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{2} (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Étape 4

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 4.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Étape 4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Étape 4.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Étape 6

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) (- \sin (x)))$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \sin (x))$

Étape 9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x))$

Étape 10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x))$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x))$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 \cos^{3} (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Étape 13.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$- 3 \cos^{3} (x) + 6 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Étape 13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \cos^{3} (x)$