Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.9.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.12

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.13

Multipliez $\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ par $1$ .

$3 \frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.14

Placez ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.15

Associez $3$ et $\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.16

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.17

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.18.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 ({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.18.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.18.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Étape 3.2

Additionnez $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ et $0$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$