Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [3 ((x + 1) (x + 1))]$

Étape 2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 (x (x + 1) + 1 (x + 1))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1)]$

Étape 3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)]$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (x^{2} + 2 x + 1)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (2 x + 2 + 0)$

Étape 11

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$3 (2 x + 2)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

Étape 12.2

Associez des termes.

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Étape 12.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

Étape 12.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x + 6$