Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x - \sqrt{x^{2} + x + 1}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \sqrt{x^{2} + x + 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + x + 1}$ comme ${(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + x + 1$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + x + 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1 + 0))$

Étape 3.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Étape 3.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Étape 3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Étape 3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Étape 3.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Étape 3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Étape 3.13

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

Étape 3.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - (\frac{{(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

Étape 3.15

Placez ${(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2$