Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 (5^{\sqrt{2 x + 7}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 7}$ comme ${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 5^{x}$ et $g (x) = {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$3 (5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) \frac{d}{d x} [{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x + 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x + 7$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x + 7$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 8

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{{(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 8.3

Placez ${(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 8.4

Associez $3$ et $\frac{1}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{3}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Étape 8.5

Associez $\frac{3}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ et $5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Étape 8.6

Associez $\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ et $\ln (5)$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 12

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 13

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Étape 14

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Étape 14.2

Associez $\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) \cdot 2}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.4

Factorisez $2$ à partir de $6 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5))}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5))}{2 ({(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5))}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Simplifiez $3 \ln (5)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5^{3})}{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (125)}{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$