Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x - \ln (4 x - 6)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \ln (4 x - 6)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (4 x - 6)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (4 x - 6)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\ln (4 x - 6)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 x - 6$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 6$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 6])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$2 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x - 6])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 6$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} \frac{d}{d x} [4 x - 6])$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Étape 3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Étape 3.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 \cdot 1 + 0))$

Étape 3.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 + 0))$

Étape 3.8

Additionnez $4$ et $0$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} \cdot 4)$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{4 x - 6}$ et $4$ .

$2 - \frac{4}{4 x - 6}$

Étape 3.10

Annulez le facteur commun à $4$ et $4 x - 6$ .

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Étape 3.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 - \frac{2 (2)}{4 x - 6}$

Étape 3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$2 - \frac{2 (2)}{2 (2 x) - 6}$

Étape 3.10.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 x) + 2 \cdot - 3}$

Étape 3.10.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (- 3)$ .

$2 - \frac{2 (2)}{2 (2 x - 3)}$

Étape 3.10.2.4

Annulez le facteur commun.

$2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 x - 3)}$

Étape 3.10.2.5

Réécrivez l’expression.

$2 - \frac{2}{2 x - 3}$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x - 3}{2 x - 3}$ .

$\frac{2 (2 x - 3)}{2 x - 3} - \frac{2}{2 x - 3}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (2 x - 3) - 2}{2 x - 3}$