Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} + 8 x + 10 \sqrt{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 8 x + 10 \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Étape 3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$6 x + 8 + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x + 8 + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 x + 8 + 10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 x + 8 + 10 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 4.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 x + 8 + 10 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.10

Associez $10$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 x + 8 + \frac{10 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x + 8 + \frac{10}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$6 x + 8 + \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x + 8 + \frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.13.2

Annulez le facteur commun.

$6 x + 8 + \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.13.3

Réécrivez l’expression.

$6 x + 8 + \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$