Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \arctan (e^{5 x})$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \arctan (e^{5 x})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{5 x})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{5 x})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = e^{5 x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{5 x}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$3 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{5 x}$ .

$3 (\frac{1}{1 + {(e^{5 x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{5 x})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{1 + e^{5 x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$3 (\frac{1}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{1 + e^{10 x}}$ et $3$ .

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$\frac{3}{1 + e^{10 x}} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $e^{5 x}$ et $\frac{3}{1 + e^{10 x}}$ .

$\frac{e^{5 x} \cdot 3}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 5.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$\frac{3 \cdot e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 5.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.4

Associez les fractions.

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Étape 5.4.1

Associez $5$ et $\frac{3 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}}$ .

$\frac{5 (3 e^{5 x})}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.4.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}} \cdot 1$

Étape 5.6

Multipliez $\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}}$ par $1$ .

$\frac{15 e^{5 x}}{1 + e^{10 x}}$