Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} - \frac{1}{x} + \sqrt{5}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - \frac{1}{x} + \sqrt{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 3.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$6 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$6 x + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 3.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$6 x + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{5}]$

Étape 4

Comme $\sqrt{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sqrt{5}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x + x^{- 2} + 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 5.2

Additionnez $6 x + \frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$6 x + \frac{1}{x^{2}}$