Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x + \frac{4}{x^{3}} + 8 \sqrt{x} + 6$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 2 x + \frac{4}{x^{3}} + 8 \sqrt{x} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$12 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}]$ .

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Étape 4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$12 x^{3} - 2 + 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.8

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$ .

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.10

Associez $8$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.12

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.13.2

Annulez le facteur commun.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 5.13.3

Réécrivez l’expression.

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 6

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 x^{- 4} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{3} - 2 - 12 \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Associez $- 12$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$12 x^{3} - 2 + \frac{- 12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 x^{3} - 2 - \frac{12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 7.2.3

Additionnez $12 x^{3} - 2 - \frac{12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$12 x^{3} - 2 - \frac{12}{x^{4}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$12 x^{3} - \frac{12}{x^{4}} - 2 + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$