Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{4} - 5 x + x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{4} - 5 x + x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x^{3} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Étape 3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$ .

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Étape 4.1

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}]$

Étape 4.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 3}{2}}]$

Étape 4.1.3

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2}}]$

Étape 4.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{1}]$

Étape 4.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x^{3} - 5 + 1$

Étape 5

Additionnez $- 5$ et $1$ .

$24 x^{3} - 4$