Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{2} e (\frac{6}{25} x) - 50 x e (\frac{6}{25} x) + 208.33 e^{\frac{6}{25}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} e (\frac{6}{25} x) - 50 x e (\frac{6}{25} x) + 208.33 e^{\frac{6}{25}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2} e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2} e (\frac{6}{25} x)]$ .

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Étape 2.1

Associez $\frac{6}{25}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} e \frac{6 x}{25}] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.2

Associez $6$ et $\frac{6 x}{25}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e \frac{6 (6 x)}{25}] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e \frac{36 x}{25}] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.4

Associez $\frac{36 x}{25}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{36 x \cdot x^{2}}{25} e] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{36 (x^{2} x)}{25} e] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{36 (x^{2} x^{1})}{25} e] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2 + 1}}{25} e] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{36 x^{3}}{25} e] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.6

Associez $\frac{36 x^{3}}{25}$ et $e$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{36 x^{3} e}{25}] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.7

Comme $\frac{36 e}{25}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{36 x^{3} e}{25}$ par rapport à $x$ est $\frac{36 e}{25} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{36 e}{25} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{36 e}{25} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.9

Associez $3$ et $\frac{36 e}{25}$ .

$\frac{3 (36 e)}{25} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.10

Multipliez $36$ par $3$ .

$\frac{108 e}{25} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 2.11

Associez $\frac{108 e}{25}$ et $x^{2}$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 50 x e (\frac{6}{25} x)]$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{6}{25}$ et $x$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [- 50 x e \frac{6 x}{25}] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.2

Associez $- 50$ et $\frac{6 x}{25}$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [x e \frac{- 50 (6 x)}{25}] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.3

Multipliez $6$ par $- 50$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [x e \frac{- 300 x}{25}] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.4

Associez $\frac{- 300 x}{25}$ et $x$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{- 300 x \cdot x}{25} e] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{- 300 (x^{1} x)}{25} e] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{- 300 (x^{1} x^{1})}{25} e] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{- 300 x^{1 + 1}}{25} e] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{- 300 x^{2}}{25} e] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.9

Associez $\frac{- 300 x^{2}}{25}$ et $e$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{- 300 x^{2} e}{25}] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.10

Annulez le facteur commun à $- 300$ et $25$ .

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Étape 3.10.1

Factorisez $25$ à partir de $- 300 x^{2} e$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{25 (- 12 x^{2} e)}{25}] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{25 (- 12 x^{2} e)}{25 (1)}] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{25 (- 12 x^{2} e)}{25 \cdot 1}] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [\frac{- 12 x^{2} e}{1}] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.10.2.4

Divisez $- 12 x^{2} e$ par $1$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2} e] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.11

Comme $- 12 e$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2} e$ par rapport à $x$ est $- 12 e \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} - 12 e \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} - 12 e (2 x) + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 3.13

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} - 24 e x + \frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [208.33 e^{\frac{6}{25}}]$ .

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Étape 4.1

Multipliez $208.33$ par $e^{\frac{6}{25}}$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} - 24 e x + \frac{d}{d x} [264.83933548]$

Étape 4.2

Comme $264.83933548$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $264.83933548$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} - 24 e x + 0$

Étape 5

Additionnez $\frac{108 e x^{2}}{25} - 24 e x$ et $0$ .

$\frac{108 e x^{2}}{25} - 24 e x$