Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 \sin (x) \cos (x) - 1$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 \sin (x) \cos (x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 \sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \sin (x) \cos (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$5 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$5 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.6

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$5 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$5 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (- \sin^{2} (x)) + 5 \cos^{2} (x) + 0$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \sin^{2} (x) + 5 \cos^{2} (x) + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 5 \sin^{2} (x) + 5 \cos^{2} (x)$ et $0$ .

$- 5 \sin^{2} (x) + 5 \cos^{2} (x)$