Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x^{3} - 7$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{3} - 7$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{3} - 7$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x (\frac{{(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.3

Placez ${(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7] + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Multipliez $3$ par $2$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 13

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2} + 0) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2}) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14.2

Associez $6$ et $\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{6 x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} x^{2} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14.3

Associez $\frac{6 x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$5 (\frac{6 x \cdot x^{2}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 (\frac{6 (x^{2} x)}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 15.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 (\frac{6 (x^{2} x^{1})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (\frac{6 x^{2 + 1}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$5 (\frac{6 x^{3}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 16

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{3}$ .

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 ({(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}})} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 17.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 19

Multipliez ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 20

Pour écrire ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Multipliez ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 22.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.4

Divisez $2$ par $2$ .

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{1}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23

Simplifiez ${(2 x^{3} - 7)}^{1}$ .

$5 \frac{3 x^{3} + 2 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24

Additionnez $3 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$5 \frac{5 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 25

Associez $5$ et $\frac{5 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 (5 x^{3} - 7)}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$