Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{3 e^{x}}$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3 e^{x}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{3 e^{x}}$ comme $e^{\ln (x^{3 e^{x}})}$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 e^{x}})}]$

Étape 2.2

Développez $\ln (x^{3 e^{x}})$ en déplaçant $3 e^{x}$ hors du logarithme.

$5 \frac{d}{d x} [e^{3 e^{x} \ln (x)}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 e^{x} \ln (x)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 e^{x} \ln (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 e^{x} \ln (x)$ .

$5 (e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ .

$5 e^{3 e^{x} \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 6

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 7

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{x}$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 9.2

Associez des termes.

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{e^{x}}{x}$ et $15$ .

$\frac{e^{x} \cdot 15}{x} e^{3 e^{x} \ln (x)} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 9.2.2

Associez $\frac{e^{x} \cdot 15}{x}$ et $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 15 e^{3 e^{x} \ln (x)}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 9.2.3

Multipliez $e^{x}$ par $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.3.1

Déplacez $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 9.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 9.2.3.3

Multipliez $3 e^{x} \ln (x)$ .

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Étape 9.2.3.3.1

Remettez dans l’ordre $\ln (x)$ et $3$ .

$\frac{e^{3 \cdot \ln (x) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 9.2.3.3.2

Simplifiez $3 \cdot \ln (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{e^{\ln (x^{3}) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 9.2.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{3}) e^{x} + x$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 9.2.4

Déplacez $15$ à gauche de $e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}$ .

$\frac{15 \cdot e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Étape 9.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Étape 9.2.6

Pour écrire $15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + \frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Étape 9.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x}$