Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 500 (1 + (\frac{4 x}{50 + x^{2}}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [500 (\frac{50 + x^{2}}{50 + x^{2}} + \frac{4 x}{50 + x^{2}})]$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [500 \frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

Étape 1.2.2

Associez $500$ et $\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}]$

Étape 1.3

Comme $500$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$ .

$500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 50 + x^{2} + 4 x$ et $g (x) = 50 + x^{2}$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) \frac{d}{d x} [50 + x^{2} + 4 x] - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $50 + x^{2} + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $50$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $50$ par rapport à $x$ est $0$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \cdot 1) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $50 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $50$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $50$ par rapport à $x$ est $0$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (2 x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.12

Associez les fractions.

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Étape 3.12.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.12.2

Associez $500$ et $\frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) + (- 2 \cdot 50 - 2 x^{2} - 2 (4 x)) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 \cdot 50 x - 2 x^{2} x - 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1

Développez $(50 + x^{2}) (2 x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{500 (50 (2 x + 4) + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $2$ par $50$ .

$\frac{500 (100 x + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $50$ par $4$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.4.1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + 4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{500 (100 x) + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1.4.1

Multipliez $100$ par $500$ .

$\frac{50000 x + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.4.2

Multipliez $500$ par $200$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.4.3

Multipliez $2$ par $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.4.4

Multipliez $4$ par $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.5

Multipliez $- 2$ par $50$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 100 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.6

Multipliez $- 100$ par $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x \cdot x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.4.1.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{1 + 2}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{3}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.8

Multipliez $- 2$ par $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.9

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.9.1

Déplacez $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 (x \cdot x)))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x^{2}))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.10

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 8 x^{2})}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.1.11

Multipliez $- 8$ par $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.2

Associez les termes opposés dans $50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1

Soustrayez $50000 x$ de $50000 x$ .

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 0 - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.2.3

Soustrayez $1000 x^{3}$ de $1000 x^{3}$ .

$\frac{100000 + 2000 x^{2} + 0 - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.2.4

Additionnez $100000 + 2000 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{100000 + 2000 x^{2} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4.3

Soustrayez $4000 x^{2}$ de $2000 x^{2}$ .

$\frac{100000 - 2000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2000 x^{2} + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Étape 4.6

Factorisez $2000$ à partir de $- 2000 x^{2} + 100000$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $2000$ à partir de $- 2000 x^{2}$ .

$\frac{2000 (- x^{2}) + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Étape 4.6.2

Factorisez $2000$ à partir de $100000$ .

$\frac{2000 (- x^{2}) + 2000 (50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Étape 4.6.3

Factorisez $2000$ à partir de $2000 (- x^{2}) + 2000 (50)$ .

$\frac{2000 (- x^{2} + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{2000 (- (x^{2}) + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Étape 4.8

Réécrivez $50$ comme $- 1 (- 50)$ .

$\frac{2000 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Étape 4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{2000 (- (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Étape 4.10

Réécrivez $- (x^{2} - 50)$ comme $- 1 (x^{2} - 50)$ .

$\frac{2000 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Étape 4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2000 (x^{2} - 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$