Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 \ln (\frac{4}{x})$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \ln (\frac{4}{x})$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{4}{x})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{4}{x})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{4}{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{4}{x}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{4}{x}$ .

$6 (\frac{1}{\frac{4}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{4}{x}$ .

$6 (1 \frac{x}{4} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $1$ .

$6 (\frac{x}{4} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Étape 4.2

Associez $\frac{x}{4}$ et $6$ .

$\frac{x \cdot 6}{4} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Étape 4.3

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$\frac{6 \cdot x}{4} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{4} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (2)} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x}{2} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{3 x}{2} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez $4$ et $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{4 (3 x)}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 x}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $12 x$ .

$\frac{2 (6 x)}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (6 x)}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 x)}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 6.3.2.4

Divisez $6 x$ par $1$ .

$6 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 6.4

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$6 x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 x (- x^{- 2})$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 x \cdot x^{- 2}$

Étape 9

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$- 6 (x^{- 2} x)$

Étape 9.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $x$ .

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Étape 9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 6 (x^{- 2} x^{1})$

Étape 9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 x^{- 2 + 1}$

Étape 9.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- 6 x^{- 1}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x}$

Étape 10.2

Associez des termes.

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Étape 10.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 6}{x}$

Étape 10.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{x}$