Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 6 \csc (\sqrt{5 x + 3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x + 3}$ comme ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 6 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 (- \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$6 (\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 x + 3$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x + 3$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x + 3$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Étape 11

Placez ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $6$ .

$\frac{6}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Étape 13

Associez $\frac{6}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Étape 14

Associez $\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $\cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Étape 15

Factorisez $2$ à partir de $6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Étape 16

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Étape 16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Étape 17

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 18

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 20

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 21

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

Étape 22

Associez les fractions.

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Étape 22.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

Étape 22.2

Associez $\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $5$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 5}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 22.3.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{15 \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$