Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 600 + \sqrt{200 + 25 x^{2} - x}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $600 + \sqrt{200 + 25 x^{2} - x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [600] + \frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [600] + \frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$

Étape 1.2

Comme $600$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $600$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{200 + 25 x^{2} - x}$ comme ${(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 200 + 25 x^{2} - x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $200 + 25 x^{2} - x$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [200 + 25 x^{2} - x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [200 + 25 x^{2} - x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $200 + 25 x^{2} - x$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [200 + 25 x^{2} - x]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $200 + 25 x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [200] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [200] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.4

Comme $200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $200$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.5

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 (2 x) - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Étape 2.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Étape 2.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Étape 2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Étape 2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Étape 2.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Étape 2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 25 (2 x) - 1 \cdot 1)$

Étape 2.14

Multipliez $2$ par $25$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 50 x - 1 \cdot 1)$

Étape 2.15

Additionnez $0$ et $50 x$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (50 x - 1 \cdot 1)$

Étape 2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}} (50 x - 1)$

Étape 2.17

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (50 x - 1)$

Étape 2.18

Placez ${(200 + 25 x^{2} - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$ .

$\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}} (50 x - 1)$ .

$(50 x - 1) \frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3

Multipliez $50 x - 1$ par $\frac{1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{50 x - 1}{2 {(200 + 25 x^{2} - x)}^{\frac{1}{2}}}$