Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 \cdot x^{4} + 3 \cdot \arctan (7 x^{4})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 \cdot x^{4} + 3 \cdot \arctan (7 x^{4})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}]$ .

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Étape 2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{4}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$28 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$ .

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \arctan (7 x^{4})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\arctan (7 x^{4})]$ .

$28 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [\arctan (7 x^{4})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 7 x^{4}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x^{4}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x^{4}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

Étape 3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{4}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{4}]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

Étape 3.5

Factorisez $7$ à partir de $7 x^{4}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 (x^{4}))}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

Étape 3.6

Appliquez la règle de produit à $7 (x^{4})$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 7^{2} {(x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

Étape 3.7

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 {(x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

Étape 3.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 3.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{4 \cdot 2}} (7 (4 x^{3})))$

Étape 3.8.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{8}} (7 (4 x^{3})))$

Étape 3.9

Multipliez $4$ par $7$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{8}} (28 x^{3}))$

Étape 3.10

Associez $28$ et $\frac{1}{1 + 49 x^{8}}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{28}{1 + 49 x^{8}} x^{3})$

Étape 3.11

Associez $\frac{28}{1 + 49 x^{8}}$ et $x^{3}$ .

$28 x^{3} + 3 \frac{28 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

Étape 3.12

Associez $3$ et $\frac{28 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$ .

$28 x^{3} + \frac{3 (28 x^{3})}{1 + 49 x^{8}}$

Étape 3.13

Multipliez $28$ par $3$ .

$28 x^{3} + \frac{84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $28 x^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + 49 x^{8}}{1 + 49 x^{8}}$ .

$\frac{28 x^{3} (1 + 49 x^{8})}{1 + 49 x^{8}} + \frac{84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

Étape 4.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{28 x^{3} (1 + 49 x^{8}) + 84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{84 x^{3} + 28 x^{3} (1 + 49 x^{8})}{49 x^{8} + 1}$