Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 x + \frac{2 x - \frac{2}{3}}{3}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - \frac{2}{3}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x) - \frac{2}{3}}{3}]$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x) + 2 (- \frac{1}{3})}{3}]$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- \frac{1}{3})$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x - \frac{1}{3})}{3}]$

Étape 1.2

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})}{3}]$

Étape 1.3

Associez $x$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (\frac{x \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})}{3}]$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 \frac{x \cdot 3 - 1}{3}}{3}]$

Étape 1.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 \frac{3 x - 1}{3}}{3}]$

Étape 2

Associez $2$ et $\frac{3 x - 1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{\frac{2 (3 x - 1)}{3}}{3}]$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{3} \cdot \frac{1}{3}]$

Étape 4

Multipliez $\frac{2 (3 x - 1)}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 (3 x - 1)}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{3 \cdot 3}]$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{9}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 6.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Étape 6.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Étape 7

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$ .

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Étape 7.1

Comme $\frac{2}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{9} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$ .

$8 + \frac{2}{9} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$8 + \frac{2}{9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 7.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 7.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 \cdot 1 + 0)$

Étape 7.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 + 0)$

Étape 7.7

Additionnez $3$ et $0$ .

$8 + \frac{2}{9} \cdot 3$

Étape 7.8

Associez $\frac{2}{9}$ et $3$ .

$8 + \frac{2 \cdot 3}{9}$

Étape 7.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 + \frac{6}{9}$

Étape 7.10

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

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Étape 7.10.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$8 + \frac{3 (2)}{9}$

Étape 7.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$8 + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Étape 7.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Étape 7.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 + \frac{2}{3}$

Étape 8

Associez des termes.

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Étape 8.1

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 8.2

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 3 + 2}{3}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{24 + 2}{3}$

Étape 8.4.2

Additionnez $24$ et $2$ .

$\frac{26}{3}$