Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 \cos (x) - 3 \sec (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 \cos (x) - 3 \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$8 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \sec (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sec (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 8 \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 8 \sin (x) - 3 \sec (x) \tan (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 \sec (x) \tan (x) - 8 \sin (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 3 \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - 8 \sin (x)$

Étape 4.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{- 3}{\cos (x)} \tan (x) - 8 \sin (x)$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{\cos (x)} \tan (x) - 8 \sin (x)$

Étape 4.2.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{3}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 8 \sin (x)$

Étape 4.2.5

Multipliez $- \frac{3}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{3}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos (x) \cos (x)} - 8 \sin (x)$

Étape 4.2.5.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - 8 \sin (x)$

Étape 4.2.5.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - 8 \sin (x)$

Étape 4.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sin (x) \cdot 3}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - 8 \sin (x)$

Étape 4.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos^{2} (x)} - 8 \sin (x)$

Étape 4.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $\sin (x)$ .

$- \frac{3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 8 \sin (x)$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{3 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - 8 \sin (x)$

Étape 4.3.2

Séparez les fractions.

$- (\frac{3}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 8 \sin (x)$

Étape 4.3.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- (\frac{3}{\cos (x)} \tan (x)) - 8 \sin (x)$

Étape 4.3.4

Séparez les fractions.

$- (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)) - 8 \sin (x)$

Étape 4.3.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- (\frac{3}{1} \sec (x) \tan (x)) - 8 \sin (x)$

Étape 4.3.6

Divisez $3$ par $1$ .

$- (3 \sec (x) \tan (x)) - 8 \sin (x)$

Étape 4.3.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \sec (x) \tan (x) - 8 \sin (x)$