Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 \arctan (x) - 4 x + 1$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 \arctan (x) - 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \arctan (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \arctan (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$8 \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Associez $8$ et $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 + 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.1

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + 0$

Étape 5.1.2

Associez $- 4$ et $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + 0$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + 0$

Étape 5.1.4

Additionnez $\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$