Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 + \sqrt{520 x - 2 x^{2}}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + \sqrt{520 x - 2 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$

Étape 1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{520 x - 2 x^{2}}$ comme ${(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 520 x - 2 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $520 x - 2 x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $520 x - 2 x^{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $520 x - 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [520 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [520 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Étape 2.4

Comme $520$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $520 x$ par rapport à $x$ est $520 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Étape 2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Étape 2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Étape 2.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Étape 2.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Étape 2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Étape 2.13

Multipliez $520$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 - 2 (2 x))$

Étape 2.14

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 - 4 x)$

Étape 2.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (520 - 4 x)$

Étape 2.16

Placez ${(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$ .

$\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$ .

$(520 - 4 x) \frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3

Multipliez $520 - 4 x$ par $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{520 - 4 x}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $520$ .

$\frac{2 \cdot 260 - 4 x}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.5

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{2 \cdot 260 + 2 (- 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (260) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 ({(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{260 - 2 x}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.8

Factorisez $2$ à partir de $260 - 2 x$ .

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Étape 3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $260$ .

$\frac{2 (130) - 2 x}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (130) + 2 (- x)}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (130) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (130 - x)}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$