Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 \ln ({(x)}^{\frac{7}{2}})$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \ln (x^{\frac{7}{2}})$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{7}{2}}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$8 (\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ et $8$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Étape 8

Associez $\frac{7}{2}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Étape 9

Multipliez $\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}}$ par $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 (7 x^{\frac{5}{2}})}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Étape 10.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{7}{2}}}$

Étape 10.3

Placez $x^{\frac{5}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{56}{2 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{5}{2}}}$

Étape 11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Multipliez $x^{\frac{7}{2}}$ par $x^{- \frac{5}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1.1

Déplacez $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{56}{2 (x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{7}{2}})}$

Étape 11.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{56}{2 x^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}}}$

Étape 11.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{56}{2 x^{\frac{- 5 + 7}{2}}}$

Étape 11.1.4

Additionnez $- 5$ et $7$ .

$\frac{56}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{56}{2 x^{1}}$

Étape 11.2

Simplifiez $2 x^{1}$ .

$\frac{56}{2 x}$

Étape 12

Annulez le facteur commun à $56$ et $2$ .

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Étape 12.1

Factorisez $2$ à partir de $56$ .

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

Étape 12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 \cdot 28}{2 (x)}$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

Étape 12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{28}{x}$