Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x^{6} \sqrt{x} - \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{6} \sqrt{x} - \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{6} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{6} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{6} \sqrt{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{6} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.2

Multipliez $x^{6}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{2}} x^{6})] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.2.3

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.2.4

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 6 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 12}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.2.6.2

Additionnez $1$ et $12$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{13}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{\frac{13}{2}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{13}{2}$ .

$7 (\frac{13}{2} x^{\frac{13}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{13}{2} x^{\frac{13}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{13}{2} x^{\frac{13}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 (\frac{13}{2} x^{\frac{13 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$7 (\frac{13}{2} x^{\frac{13 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.8.2

Soustrayez $2$ de $13$ .

$7 (\frac{13}{2} x^{\frac{11}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.9

Associez $\frac{13}{2}$ et $x^{\frac{11}{2}}$ .

$7 \frac{13 x^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.10

Associez $7$ et $\frac{13 x^{\frac{11}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 (13 x^{\frac{11}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 2.11

Multipliez $13$ par $7$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 \sqrt{x}}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2 x^{\frac{1}{2}}}}]$

Étape 3.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{x^{2 x^{\frac{1}{2}}}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2 x^{\frac{1}{2}}}}]$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2 x^{\frac{1}{2}}}}]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{2 x^{\frac{1}{2}}}}$ comme ${(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 1}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 1}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2 x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2 x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2 x^{\frac{1}{2}}}])$

Étape 3.5

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez $x^{2 x^{\frac{1}{2}}}$ comme $e^{\ln (x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}])$

Étape 3.5.2

Développez $\ln (x^{2 x^{\frac{1}{2}}})$ en déplaçant $2 x^{\frac{1}{2}}$ hors du logarithme.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]))$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]))$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 2} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]))$

Étape 3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 2} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)])))$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 2} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))))$

Étape 3.9

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 2} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))))$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 2} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})))))$

Étape 3.11

Multipliez les exposants dans ${(x^{2 x^{\frac{1}{2}}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})))))$

Étape 3.11.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})))))$

Étape 3.12

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})))))$

Étape 3.13

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})))))$

Étape 3.14

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.14.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.14.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})))))$

Étape 3.14.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})))))$

Étape 3.14.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})))))$

Étape 3.14.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})))))$

Étape 3.14.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})))))$

Étape 3.15

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})))))$

Étape 3.16

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})))))$

Étape 3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})))))$

Étape 3.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.18.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})))))$

Étape 3.18.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})))))$

Étape 3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})))))$

Étape 3.20

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}))))$

Étape 3.21

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}))))$

Étape 3.22

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (2 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}))))$

Étape 3.23

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} - 3 (- 2 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})))$

Étape 3.24

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Associez $e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} \frac{e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.3.2

Associez $6$ et $\frac{e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} \frac{6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.3.3

Associez $x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}}$ et $\frac{6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)})}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.3.4

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)})$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}))}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}))}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.3.5.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)})}{1} + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.3.5.4

Divisez $x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)})$ par $1$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}) + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.3.6

Associez $e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ et $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}) + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} \frac{e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.7

Associez $6$ et $\frac{e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}) + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} \frac{6 (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.8

Associez $x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}}$ et $\frac{6 (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}) + \frac{x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (6 (e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.9

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{- 4 x^{\frac{1}{2}}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}) + \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.10.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Étape 4.3.10.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.3.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}) + \frac{x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))}{2}$

Étape 4.3.11

Factorisez $2$ à partir de $x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}) + \frac{2 (x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (3 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)))}{2}$

Étape 4.3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

Étape 4.3.12.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}) + \frac{x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (3 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))}{1}$

Étape 4.3.12.4

Divisez $x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (3 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))$ par $1$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}) + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (3 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))$

Étape 4.3.13

Réorganisez les facteurs de $x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)})$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + 6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (3 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))$

Étape 4.3.14

Pour écrire $6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + 6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (3 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))$

Étape 4.3.15

Associez $6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (3 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))$

Étape 4.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}} + 6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (3 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))$

Étape 4.3.17

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}} + 12 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}}{2} + x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (3 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x))$

Étape 4.3.18

Remettez dans l’ordre $x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ et $3$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}} + 12 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{2} + 3 \cdot x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)$

Étape 4.3.19

Pour écrire $3 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}} + 12 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{2} + 3 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.20

Associez $3 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}} + 12 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{2} + \frac{3 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x) \cdot 2}{2}$

Étape 4.3.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}} + 12 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} + 3 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x) \cdot 2}{2}$

Étape 4.3.22

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{91 x^{\frac{11}{2}} + 12 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} + 6 x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + 6 e^{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} x^{- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \ln (x) + 91 x^{\frac{11}{2}}}{2}$