Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x^{4} x^{\frac{1}{2}} + (- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{4} x^{\frac{1}{2}} + (- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{4} x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 2.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{2}} x^{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.1.3

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.1.4

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 8}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.1.6.2

Additionnez $1$ et $8$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{\frac{9}{2}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{2}$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $9$ .

$7 (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.8

Associez $\frac{9}{2}$ et $x^{\frac{7}{2}}$ .

$7 \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.9

Associez $7$ et $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 (9 x^{\frac{7}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 2.10

Multipliez $9$ par $7$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2} x^{0.5}}]$ .

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Étape 3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{0.5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2 + 0.5}}]$

Étape 3.1.2

Additionnez $2$ et $0.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2.5}}]$

Étape 3.2

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{8}{x^{2.5}}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2.5}}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2.5}}]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{2.5}}$ comme ${(x^{2.5})}^{- 1}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 \frac{d}{d x} [{(x^{2.5})}^{- 1}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2.5}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2.5}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2.5}$ .

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Étape 3.4.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2 + 0.5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Étape 3.4.3.2

Additionnez $2$ et $0.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2.5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2.5}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- {(x^{2.5})}^{- 2} (2.5 x^{1.5}))$

Étape 3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2.5})}^{- 2}$ .

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Étape 3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- x^{2.5 \cdot - 2} (2.5 x^{1.5}))$

Étape 3.6.2

Multipliez $2.5$ par $- 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- x^{- 5} (2.5 x^{1.5}))$

Étape 3.7

Multipliez $2.5$ par $- 1$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{- 5} x^{1.5})$

Étape 3.8

Multipliez $x^{- 5}$ par $x^{1.5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.1

Déplacez $x^{1.5}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 (x^{1.5} x^{- 5}))$

Étape 3.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{1.5 - 5})$

Étape 3.8.3

Soustrayez $5$ de $1.5$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 8 (- 2.5 x^{- 3.5})$

Étape 3.9

Multipliez $- 2.5$ par $- 8$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + 20 x^{- 3.5}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + 20 \frac{1}{x^{3.5}}$

Étape 4.2

Associez $20$ et $\frac{1}{x^{3.5}}$ .

$\frac{63 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{20}{x^{3.5}}$