Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 {(8 x + 1)}^{5} {(8 x - 1)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(8 x - 1)}^{2}$ comme $(8 x - 1) (8 x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} ((8 x - 1) (8 x - 1))]$

Étape 2

Développez $(8 x - 1) (8 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x - 1) - 1 (8 x - 1))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x - 1))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Étape 3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Étape 3.1.5

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 8 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 8 x + 1)]$

Étape 3.2

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$

Étape 4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(8 x + 1)}^{5}$ et $g (x) = 64 x^{2} - 16 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [64 x^{2} - 16 x + 1] + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Étape 6

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $64 x^{2} - 16 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Étape 6.2

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64 x^{2}$ par rapport à $x$ est $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $64$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Étape 6.5

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Étape 6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Étape 6.7

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Étape 6.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 + 0) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Étape 6.9

Additionnez $128 x - 16$ et $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 8 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (5 {(8 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

Étape 8

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déplacez $5$ à gauche de $64 x^{2} - 16 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 \cdot (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1])$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 8.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 8.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 8.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 8.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 + 0))$

Étape 8.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.7.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} \cdot 8)$

Étape 8.7.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 40 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (40 (64 x^{2}) + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16)) + 7 ((40 (64 x^{2}) + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Étape 9.3

Multipliez $64$ par $40$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Étape 9.4

Multipliez $- 16$ par $40$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} - 640 x + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Étape 9.5

Multipliez $40$ par $1$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4})$

Étape 9.6

Factorisez $7 {(8 x + 1)}^{4}$ à partir de $7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.1

Factorisez $7 {(8 x + 1)}^{4}$ à partir de $7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16)$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$

Étape 9.6.2

Factorisez $7 {(8 x + 1)}^{4}$ à partir de $7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 {(8 x + 1)}^{4} (2560 x^{2} - 640 x + 40)$

Étape 9.6.3

Factorisez $7 {(8 x + 1)}^{4}$ à partir de $7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 {(8 x + 1)}^{4} (2560 x^{2} - 640 x + 40)$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16) + 2560 x^{2} - 640 x + 40)$