Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 (\sqrt{2 x})$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [5 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Comme $5 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 10

Associez $5$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 11

Associez $2^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} (5 x^{- \frac{1}{2}})}{2}$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Déplacez $5$ à gauche de $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12.2

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 12.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 13.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{5}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{5}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$