Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \cos (x) \cos (4 x) + \cos^{4} (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \cos (x) \cos (4 x) + \cos^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \cos (4 x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \cos (x) \cos (4 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (4 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \cos (4 x)$ .

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$4 (\cos (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 2.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (4 x) (4 \cdot 1)) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 2.6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (4 x) (4 \cdot 1)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 2.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 (\cos (x) (- \sin (4 x) \cdot 4) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 2.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + 4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) (- \sin (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\cos (x) (- 4 \sin (4 x))) + 4 (\cos (4 x) (- \sin (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Étape 4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$- 16 (\cos (x) (\sin (4 x))) + 4 (\cos (4 x) (- \sin (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 16 \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$