Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 arccsc (10 x^{- 1})$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 arccsc (10 x^{- 1})$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arccsc (x)$ et $g (x) = 10 x^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $10 x^{- 1}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Étape 2.2

La dérivée de $arccsc (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$4 (- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10 x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 (x^{- 1}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 (x^{- 1})$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{10^{2} {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Étape 3.2.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 1 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Étape 3.2.1.4

Placez $x^{- 1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$4 (- \frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ et $- 4$ .

$\frac{x \cdot - 4}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Étape 3.2.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 4 \cdot x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $10$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x)}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Étape 3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ .

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Étape 3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Étape 3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Étape 3.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Étape 3.3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- 10 \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.4.2

Associez $- 10$ et $\frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ .

$\frac{- 10 (2 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$\frac{- 20 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $5$ .

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Étape 3.4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 20 x$ .

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ .

$\frac{5 (- 4 x)}{5 (\sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (- x^{- 2})$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

Étape 3.6.2

Multipliez $\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ par $1$ .

$\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ et $x^{- 2}$ .

$\frac{4 x \cdot x^{- 2}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Étape 4

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$\frac{4 (x^{- 2} x)}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Étape 4.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $x$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (x^{- 2} x^{1})}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{- 2 + 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Étape 4.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{4 x^{- 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Étape 5

Placez $x^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1} x}$

Étape 6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{x \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$