Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin (x) \cos^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

$- 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 (\sin (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 4 (\sin (x) (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 4 (\sin (x) (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.7

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.8

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.11

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.1

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 2.11.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.11.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 2.11.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x) \cos (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{3} (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Étape 3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Étape 3.6

Multipliez $\sin^{3} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Étape 3.6.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{3} (x)$ .

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Étape 3.6.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Étape 3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 ({\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Étape 3.6.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Étape 3.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin^{4} (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Étape 3.8

Réécrivez $- 1 \sin^{4} (x)$ comme $- \sin^{4} (x)$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \cos (x)))$

Étape 3.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

Étape 3.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

Étape 3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x) + 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$12 (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 4 \cos^{4} (x) - 4 (- \sin^{4} (x)) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 4 (3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Étape 4.3.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 (\sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Étape 4.3.4

Réorganisez les facteurs de $- 12 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Étape 4.3.5

Soustrayez $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ de $12 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$0 - 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Étape 4.3.6

Soustrayez $4 \cos^{4} (x)$ de $0$ .

$- 4 \cos^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Étape 4.4

Réécrivez $4 \sin^{4} (x)$ comme ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

$- 4 \cos^{4} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Étape 4.5

Réécrivez $4 \cos^{4} (x)$ comme ${(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ .

$- {(2 \cos^{2} (x))}^{2} + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Étape 4.6

Remettez dans l’ordre $- {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$ et ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(2 \sin^{2} (x))}^{2} - {(2 \cos^{2} (x))}^{2}$

Étape 4.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 \sin^{2} (x)$ et $b = 2 \cos^{2} (x)$ .

$(2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Étape 4.8

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin^{2} (x)$ .

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Étape 4.9

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos^{2} (x)$ .

$(2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Étape 4.10

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sin^{2} (x)) + 2 (\cos^{2} (x))$ .

$2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Étape 4.11

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \cdot 1 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Étape 4.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (2 \sin^{2} (x) - (2 \cos^{2} (x)))$

Étape 4.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x))$

Étape 4.14

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \sin^{2} (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

Étape 4.15

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \sin^{2} (x) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$

Étape 4.16

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)$