Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Étape 1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (\frac{x}{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$ .

$0 - 2 x - \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2} + 1$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + 0))$

Étape 3.8

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} + 0))$

Étape 3.9

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 3.10

Multipliez $\frac{1}{\frac{x}{2} + 1}$ par $\frac{1}{2}$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{(\frac{x}{2} + 1) \cdot 2}$

Étape 3.11

Déplacez $2$ à gauche de $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{2 (\frac{x}{2} + 1)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 - 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Étape 4.2.2

Associez $2$ et $\frac{x}{2}$ .

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2}$

Étape 4.2.5

Pour écrire $- 2 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- 2 x \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Étape 4.2.6

Associez $- 2 x$ et $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{- 2 x (x + 2)}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Étape 4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 x (x + 2) - 1}{x + 2}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 1}{x + 2}$

Étape 4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 4 x - 1}{x + 2}$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (4 x) - 1}{x + 2}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - (4 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1}{x + 2}$

Étape 4.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)}{x + 2}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Étape 4.9

Réécrivez $- (2 x^{2} + 4 x + 1)$ comme $- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Étape 4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{x + 2}$