Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{2} \sqrt{3 x - 8}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x - 8}$ comme ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 3 x - 8$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 8$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 8$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{{(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8.3

Placez ${(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 8] + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 12

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 13

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 14.2

Associez $\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ et $3$ .

$4 (\frac{x^{2} \cdot 3}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 14.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$4 (\frac{3 \cdot x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Étape 16

Déplacez $2$ à gauche de ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} x)$

Étape 17

Associez $\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} x$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 17.1

Déplacez ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 17.2

Pour écrire $2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 17.3

Associez $2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 17.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{3 x^{2} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Multipliez ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.1

Déplacez ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x ({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.5

Divisez $2$ par $2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{1}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Simplifiez $4 x {(3 x - 8)}^{1}$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Associez $4$ et $\frac{3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Factorisez $2$ à partir de $4 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))$ .

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23

Annulez les facteurs communs.

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Étape 23.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 ({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 23.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24

Simplifiez

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Étape 24.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x^{2} + 4 x (3 x) + 4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4 x (3 x)) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 24.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.3.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 x (3 x)) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 24.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 (x \cdot x) \cdot 3) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 x^{2} \cdot 3) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (12 x^{2}) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3.1.4

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3.1.5

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} + 2 (- 32 x)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3.1.6

Multipliez $- 32$ par $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.3.2

Additionnez $6 x^{2}$ et $24 x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2} - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.4

Factorisez $2 x$ à partir de $30 x^{2} - 64 x$ .

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Étape 24.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $30 x^{2}$ .

$\frac{2 x (15 x) - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.4.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 64 x$ .

$\frac{2 x (15 x) + 2 x (- 32)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24.4.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (15 x) + 2 x (- 32)$ .

$\frac{2 x (15 x - 32)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$