Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 1}$ comme ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8.3

Placez ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 12

Associez les fractions.

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Étape 12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 12.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 12.3

Associez $\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$4 (\frac{2 x^{2} x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (\frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 15

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 15.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 (\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Étape 17

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)$

Étape 18

Associez $\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 18.1

Déplacez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 18.2

Pour écrire $2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.1

Déplacez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.5

Divisez $2$ par $2$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Simplifiez $2 x {(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Associez $4$ et $\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (x^{3} + 2 x (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Simplifiez

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Étape 22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x \cdot x^{2}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 22.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 22.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 22.3.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 (x^{2} x)) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 22.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 (x^{2} x^{1})) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x^{2 + 1}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x^{3}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} + 4 (- 2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3.2

Additionnez $4 x^{3}$ et $8 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.4

Factorisez $4 x$ à partir de $12 x^{3} - 8 x$ .

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Étape 22.4.1

Factorisez $4 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$\frac{4 x (3 x^{2}) - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.4.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{4 x (3 x^{2}) + 4 x (- 2)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.4.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (3 x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$\frac{4 x (3 x^{2} - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$