Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{\frac{5}{4}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{\frac{5}{4}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{4}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{4}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{4}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{5}{4}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{4}$ .

$4 (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$4 (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.7

Associez $\frac{5}{4}$ et $x^{\frac{1}{4}}$ .

$4 \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.8

Associez $4$ et $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.9

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.10

Factorisez $4$ à partir de $20 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.11

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.11.4

Divisez $5 x^{\frac{1}{4}}$ par $1$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 x^{\frac{1}{4}} + 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.8

Associez $2$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.9

Multipliez $3$ par $2$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.10

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.11

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.11.2

Annulez le facteur commun.

$5 x^{\frac{1}{4}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.11.3

Réécrivez l’expression.

$5 x^{\frac{1}{4}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.11.4

Divisez $3 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot 1$

Étape 4.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 x^{\frac{1}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 5$