Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x \sqrt{2 - x^{2}} - \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x \sqrt{2 - x^{2}} - \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x \sqrt{2 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x \sqrt{2 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x \sqrt{2 - x^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 - x^{2}}$ comme ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 - x^{2}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 - x^{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.15

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.16

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.17

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x)) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.18

Associez $- 2$ et $\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (x (\frac{- 2 {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.19

Associez $\frac{- 2 {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$3 (x \frac{- 2 {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.20

Placez ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x \frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.21

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$3 (x \frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.22

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.22.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x \frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.22.2

Annulez le facteur commun.

$3 (x \frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.22.3

Réécrivez l’expression.

$3 (x \frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (x (- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.24

Associez $x$ et $\frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (- \frac{x \cdot x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.25

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (- \frac{x^{1} x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.26

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (- \frac{x^{1} x^{1}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.27

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (- \frac{x^{1 + 1}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.28

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.29

Multipliez ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$3 (- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.30

Pour écrire ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.31

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.32

Multipliez ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.32.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.32.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.32.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.32.4

Divisez $2$ par $2$ .

$3 \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{1}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.33

Simplifiez ${(2 - x^{2})}^{1}$ .

$3 \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.34

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$3 \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.35

Associez $3$ et $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3 (x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3 x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 - x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 - x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.9

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.15

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.16

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.17

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.18

Associez $- 2$ et $\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{- 2 {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.19

Associez $\frac{- 2 {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{- 2 {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.20

Placez ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.21

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.22

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.22.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.22.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.22.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.24

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 x^{2} \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.25

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.26

Associez $x^{2}$ et $\frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2} x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.27

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.27.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.27.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2} x^{1}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.27.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2 + 1}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.27.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.28

Remettez dans l’ordre $2$ et $- x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.29

Pour écrire $2 x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.31

Multipliez ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.31.1

Déplacez ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.31.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.31.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.31.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.31.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 2)}^{1} + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.32

Simplifiez $2 x {(- x^{2} + 2)}^{1}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.33

Multipliez les exposants dans ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.33.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.33.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.33.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.33.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(2 - x^{2})}^{1}}$

Étape 3.34

Simplifiez

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{\frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Étape 3.35

Réécrivez $\frac{\frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$ comme un produit.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 - x^{2}})$

Étape 3.36

Multipliez $\frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2 - x^{2}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 - x^{2})}$

Étape 3.37

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

Étape 3.38

Multipliez ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 2$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.38.1

Multipliez ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 2$ .

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Étape 3.38.1.1

Élevez $- x^{2} + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{1}}$

Étape 3.38.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 3.38.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 3.38.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 3.38.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.39

Associez $- 3$ et $\frac{2 x (- x^{2} + 2) + x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 (2 x (- x^{2} + 2) + x^{3})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.40

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 2)}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2 x (- x^{2} + 2) + x^{3})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (- 2 x^{2}) + 3 \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2 x (- x^{2} + 2) + x^{3})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (- 2 x^{2}) + 3 \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 2 + x^{3})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (- 2 x^{2}) + 3 \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2 x (- x^{2})) + 3 (2 x \cdot 2) + 3 x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 3 \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2 x (- x^{2})) + 3 (2 x \cdot 2) + 3 x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2 x (- x^{2})) + 3 (2 x \cdot 2) + 3 x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2 x \cdot x^{2}) + 3 (2 x \cdot 2) + 3 x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2 (x^{2} x)) + 3 (2 x \cdot 2) + 3 x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.4.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2 (x^{2} x^{1})) + 3 (2 x \cdot 2) + 3 x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2 x^{2 + 1}) + 3 (2 x \cdot 2) + 3 x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2 x^{3}) + 3 (2 x \cdot 2) + 3 x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 6 x^{3} + 3 (2 x \cdot 2) + 3 x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 6 x^{3} + 3 (4 x) + 3 x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 6 x^{3} + 12 x + 3 x^{3}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.8

Additionnez $- 6 x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3 x^{3} + 12 x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3 x^{3} + 12 x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.10

Pour écrire $\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{- 3 x^{3} + 12 x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.4.11.1

Multipliez $\frac{- 6 x^{2} + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{(- 6 x^{2} + 6) {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{- 3 x^{3} + 12 x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.11.2

Multipliez ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.11.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- 6 x^{2} + 6) {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{- 3 x^{3} + 12 x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.11.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- 6 x^{2} + 6) {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{- 3 x^{3} + 12 x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{(- 6 x^{2} + 6) {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{- 3 x^{3} + 12 x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- 6 x^{2} + 6) {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- 6 x^{2} + 6) {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.13.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 6 x^{2} + 6) {(- x^{2} + 2)}^{1} - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.4.14

Simplifiez

$\frac{(- 6 x^{2} + 6) (- x^{2} + 2) - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Développez $(- 6 x^{2} + 6) (- x^{2} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 x^{2} (- x^{2} + 2) + 6 (- x^{2} + 2) - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 x^{2} (- x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 2 + 6 (- x^{2} + 2) - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 x^{2} (- x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 2 + 6 (- x^{2}) + 6 \cdot 2 - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 6 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - 6 x^{2} \cdot 2 + 6 (- x^{2}) + 6 \cdot 2 - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{- 6 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 2 + 6 (- x^{2}) + 6 \cdot 2 - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 6 \cdot - 1 x^{2 + 2} - 6 x^{2} \cdot 2 + 6 (- x^{2}) + 6 \cdot 2 - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{- 6 \cdot - 1 x^{4} - 6 x^{2} \cdot 2 + 6 (- x^{2}) + 6 \cdot 2 - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{4} - 6 x^{2} \cdot 2 + 6 (- x^{2}) + 6 \cdot 2 - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 (- x^{2}) + 6 \cdot 2 - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{6 x^{4} - 12 x^{2} - 6 x^{2} + 6 \cdot 2 - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2.1.6

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{6 x^{4} - 12 x^{2} - 6 x^{2} + 12 - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.2.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} - 18 x^{2} + 12 - (- 3 x^{3} + 12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{4} - 18 x^{2} + 12 - (- 3 x^{3}) - (12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{4} - 18 x^{2} + 12 + 3 x^{3} - (12 x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.5

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{4} - 18 x^{2} + 12 + 3 x^{3} - 12 x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x^{4} + 3 x^{3} - 18 x^{2} - 12 x + 12}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.7

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{4} + 3 x^{3} - 18 x^{2} - 12 x + 12$ .

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Étape 4.5.7.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{4}$ .

$\frac{3 (2 x^{4}) + 3 x^{3} - 18 x^{2} - 12 x + 12}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.7.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{4}) + 3 (x^{3}) - 18 x^{2} - 12 x + 12}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.7.3

Factorisez $3$ à partir de $- 18 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{4}) + 3 (x^{3}) + 3 (- 6 x^{2}) - 12 x + 12}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.7.4

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x$ .

$\frac{3 (2 x^{4}) + 3 (x^{3}) + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 12}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.7.5

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 (2 x^{4}) + 3 x^{3} + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.7.6

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x^{4}) + 3 x^{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{4} + x^{3}) + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.7.7

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x^{4} + x^{3}) + 3 (- 6 x^{2})$ .

$\frac{3 (2 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.7.8

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}) + 3 (- 4 x)$ .

$\frac{3 (2 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.5.7.9

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4$ .

$\frac{3 (2 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 4)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$