Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3 x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x (1 - e^{x})}{1 + e^{x}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x (1 - e^{x})$ et $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x (1 - e^{x})] - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 - e^{x}$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x \frac{d}{d x} [1 - e^{x}] + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x \frac{d}{d x} [- e^{x}] + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- \frac{d}{d x} [e^{x}]) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [x]) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + (1 - e^{x}) \cdot 1) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2

Multipliez $1 - e^{x}$ par $1$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 \frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 8

Associez $3$ et $\frac{(1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x (1 - e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) + (- x \cdot 1 - x (- e^{x})) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x}) - x \cdot 1 e^{x} - x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (x (- e^{x}) + 1 - e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 ((1 + e^{x}) (- x e^{x} + 1 - e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.2

Développez $(1 + e^{x}) (- x e^{x} + 1 - e^{x})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{3 (1 (- x e^{x}) + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.1.3.1

Multipliez $- x e^{x}$ par $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 + 1 (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3.3

Multipliez $- e^{x}$ par $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.1.3.5.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3.5.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3.6

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} + e^{x} (- e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{x} e^{x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3.8

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.1.3.8.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - (e^{x} e^{x})) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{x + x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.3.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.4

Associez les termes opposés dans $- x e^{x} + 1 - e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} - e^{2 x}$ .

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Étape 9.4.1.4.1

Additionnez $- e^{x}$ et $e^{x}$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x + 0 - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.4.2

Additionnez $- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x$ et $0$ .

$\frac{3 (- x e^{x} + 1 - e^{2 x} x - e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (- x e^{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.6

Simplifiez

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Étape 9.4.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.6.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 + 3 (- e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.6.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 - 3 (e^{2 x} x) + 3 (- e^{2 x}) + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.6.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 (x e^{x}) + 3 - 3 (e^{2 x} x) - 3 e^{2 x} + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} + 3 (- x \cdot 1 e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} + 3 (- x e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 (x e^{x}) + 3 (- x (- e^{x}) e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.10

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.1.10.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- (e^{x} e^{x})))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- e^{x + x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.10.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- x (- e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (- 1 \cdot - 1 x e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 (1 x e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.1.13

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 x e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.2

Associez les termes opposés dans $- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 x e^{2 x}$ .

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Étape 9.4.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 3 e^{2 x} x$ et $3 x e^{2 x}$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} x - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x} + 3 e^{2 x} x}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.2.2

Additionnez $- 3 e^{2 x} x$ et $3 e^{2 x} x$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 + 0 - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.2.3

Additionnez $- 3 x e^{x} + 3$ et $0$ .

$\frac{- 3 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x} - 3 x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.4.3

Soustrayez $3 x e^{x}$ de $- 3 x e^{x}$ .

$\frac{- 6 x e^{x} + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 6 e^{x} x + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.6

Factorisez $3$ à partir de $- 6 e^{x} x + 3 - 3 e^{2 x}$ .

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Étape 9.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 e^{x} x$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.6.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1) - 3 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.6.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3 e^{2 x}$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1) + 3 (- e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.6.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 2 e^{x} x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x + 1) + 3 (- e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.6.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 2 e^{x} x + 1) + 3 (- e^{2 x})$ .

$\frac{3 (- 2 e^{x} x + 1 - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x) + 1 - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.8

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x) - 1 (- 1) - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 e^{x} x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1) - e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{2 x}$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1) - (e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 e^{x} x - 1) - (e^{2 x})$ .

$\frac{3 (- (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.12

Réécrivez $- (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})$ comme $- 1 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})$ .

$\frac{3 (- 1 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x}))}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 9.14

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{3 (2 e^{x} x - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{3 (2 x e^{x} - 1 + e^{2 x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$