Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 arccsc (\tan (e^{x}))$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 arccsc (\tan (e^{x}))$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [arccsc (\tan (e^{x}))]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (\tan (e^{x}))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arccsc (x)$ et $g (x) = \tan (e^{x})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (e^{x})$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [arccsc (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Étape 2.2

La dérivée de $arccsc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$4 (- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (e^{x})$ .

$4 (- \frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (\frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ et $- 4$ .

$\frac{- 4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = e^{x}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $e^{x}$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x}$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\sec^{2} (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Associez $\sec^{2} (e^{x})$ et $\frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ .

$- \frac{\sec^{2} (e^{x}) \cdot 4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sec^{2} (e^{x})$ .

$- \frac{4 \cdot \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- \frac{4 \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} e^{x}$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Associez $e^{x}$ et $\frac{4 \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ .

$- \frac{e^{x} (4 \sec^{2} (e^{x}))}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$

Étape 7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{4 e^{x} \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$