Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \log_{7} (\sqrt{x} - 2)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$

Étape 1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{7} (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\log_{7} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Étape 2.2

La dérivée de $\log_{7} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (7)}$ .

$4 (\frac{1}{u \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

$4 (\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)}$ et $4$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 8.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Additionnez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)}$ par $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 10.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1

Factorisez $2$ à partir de $(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ((x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}))}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ((x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}))}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{(x^{\frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7)) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) x^{\frac{1}{2}} - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3

Associez des termes.

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Étape 12.3.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.3.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{x^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2}{x^{1} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3.2

Simplifiez $x^{1} \ln (7)$ .

$\frac{2}{x \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{x \ln (7) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)}$

Étape 12.5

Factorisez $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ à partir de $x \ln (7) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ .

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Étape 12.5.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ à partir de $x \ln (7)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)}$

Étape 12.5.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ à partir de $- 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (- 2)}$

Étape 12.5.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (- 2)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}} - 2)}$