Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{4 h}{x (x + h)}$

Étape 1

Comme $- \frac{4}{x}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \frac{4 h}{x (x + h)}$ par rapport à $h$ est $- \frac{4}{x} \frac{d}{d h} [\frac{h}{x + h}]$ .

$- \frac{4}{x} \frac{d}{d h} [\frac{h}{x + h}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ est $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ où $f (h) = h$ et $g (h) = x + h$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{(x + h) \frac{d}{d h} [h] - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{(x + h) \cdot 1 - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $x + h$ par $1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h (0 + \frac{d}{d h} [h])}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [h]$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \frac{d}{d h} [h]}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \cdot 1}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez les termes.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 3.7.2

Soustrayez $h$ de $h$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + 0}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 3.7.3

Additionnez $x$ et $0$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{{(x + h)}^{2}}$

Étape 3.7.4

Multipliez $\frac{x}{{(x + h)}^{2}}$ par $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{{(x + h)}^{2} x}$

Étape 3.7.5

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- \frac{4 \cdot x}{{(x + h)}^{2} x}$

Étape 3.7.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.7.6.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 x}{{(x + h)}^{2} x}$

Étape 3.7.6.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{{(x + h)}^{2}}$