Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 t^{2} - 12 + \frac{4}{t^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 t^{2} - 12 + \frac{4}{t^{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 12] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 12] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t^{2}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 12] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 12] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 t + \frac{d}{d t} [- 12] + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}]$

Étape 3

Comme $- 12$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $t$ est $0$ .

$8 t + 0 + \frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{4}{t^{2}}]$ .

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Étape 4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{4}{t^{2}}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$8 t + 0 + 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{t^{2}}$ comme ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$8 t + 0 + 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2}$ .

$8 t + 0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 t + 0 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2}$ .

$8 t + 0 + 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 t + 0 + 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Étape 4.5

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 t + 0 + 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$8 t + 0 + 4 (- t^{- 4} (2 t))$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 t + 0 + 4 (- 2 t^{- 4} t)$

Étape 4.7

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$8 t + 0 + 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Étape 4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 t + 0 + 4 (- 2 t^{1 - 4})$

Étape 4.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$8 t + 0 + 4 (- 2 t^{- 3})$

Étape 4.10

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$8 t + 0 - 8 t^{- 3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 t + 0 - 8 \frac{1}{t^{3}}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Additionnez $8 t$ et $0$ .

$8 t - 8 \frac{1}{t^{3}}$

Étape 5.2.2

Associez $- 8$ et $\frac{1}{t^{3}}$ .

$8 t + \frac{- 8}{t^{3}}$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 t - \frac{8}{t^{3}}$