Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{3} + 4^{2} - 20 \cdot \sqrt[4]{x} - \frac{18}{x^{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 16 - 20 \cdot \sqrt[4]{x} - \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} + 16 - 20 \cdot \sqrt[4]{x} - \frac{18}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 3

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 \cdot \sqrt[4]{x}]$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.2

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{\frac{1}{4}}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.7.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 x^{2} + 0 - 20 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.9

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$9 x^{2} + 0 - 20 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.10

Associez $- 20$ et $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{- 20 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.11

Placez $x^{- \frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{- 20}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.12

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.13.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{\frac{3}{4}}$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{4 \cdot - 5}{4 (x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.13.2

Annulez le facteur commun.

$9 x^{2} + 0 + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.13.3

Réécrivez l’expression.

$9 x^{2} + 0 + \frac{- 5}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{18}{x^{3}}]$ .

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Étape 5.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{18}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 5.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 5.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 5.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 5.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 5.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 5.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 5.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} - 18 (- 3 x^{- 4})$

Étape 5.8

Multipliez $- 3$ par $- 18$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + 54 x^{- 4}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 x^{2} + 0 - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + 54 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$9 x^{2} - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + 54 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 6.2.2

Associez $54$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$9 x^{2} - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{54}{x^{4}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$9 x^{2} + \frac{54}{x^{4}} - \frac{5}{x^{\frac{3}{4}}}$